Seminario 2021-2022


27 de mayo

Spectral factorization of algebro-geometric differential operators
Maria-Ángeles Zurro
Dpto. de Matemáticas, Universidad Autónoma de Madrid

In 1923 , J.L. Burchnall and T.W. Chaundy established a correspondence between commuting differential operators and algebraic curves. It was already known (I. Schur, 1904) that the centralizer of an ordinary differential operator $L$ has a quotient field that is the function field of one variable. Therefore centralizers can be seen as the affine rings of curves, and in a formal sense these are spectral curves. Algebro-geometric ordinary differential operators are defined to have nontrivial centralizers. The spectral curve of an algebro-geometric Schrödinger operator $L$ is a plane algebraic curve whose defining equation $f(\lambda, \mu)=0$ can be computed by means of the differential resultant (E. Previato, 1991). The coefficients of $L$ belonging to a differential field $K$, whose field of constants $C$ is algebraically closed and of characteristic zero. In this talk, we present a symbolic algorithm for the factorization of an algebro-geometric Schrödinger operator $L-\lambda$ over the field $K(\Gamma)$ of its spectral curve $\Gamma$, using differential subresultants [1]. This is what we call a «spectral factorization» and our ultimate goal is an effective approach to the direct spectral problem. Since the field of constants $C(\Gamma)$ of $K(\Gamma)$ is no longer algebraically closed, the need arises of a new algebraic structure, generated by the solutions of the spectral problem $L \Psi=\lambda \Psi$ over $\Gamma$ called «Spectral Picard-Vessiot field» of $L-\lambda$, defined in [2]. The spectral parameter $\lambda$ is not a free parameter. Restricting to the case of rational spectral curves, we transform the original spectral problem to one-parameter form, where the field of the curve is now $C(\tau)$, with a free parameter $\tau$. We extended our symbolic algorithm to the factorization of a third order algebro-geometric ordinary differential operator $L-\lambda,[4]$. In this context, the first computed example of a non-planar spectral curve arises. The spectral factorization in the case of algebro-geometric operators of fourth order is affected by the rank of the operator, see [3]; we will show how.

13 de mayo

Condiciones de coexistencia de especies y estabilidad en ecosistemas con interacciones aleatorias
José Ángel Capitán
Profesor Titular en el Departamento de Matemática Aplicada
Universidad en la Universidad Politécnica de Madrid

Desde que se publicó el trabajo pionero de Robert M. May en 1971, quien cuestionó el hecho de que los sistemas complejos pueden ser diversos (formados por un gran número de agentes) y, a la vez, estables dinámicamente, en Ecología se ha llevado a cabo un programa de investigación exhaustivo para entender matemáticamente por qué las comunidades ecológicas que observamos en la naturaleza son, a la vez, diversas y estables. En esta charla revisaré los conceptos de diversidad y estabilidad, partiendo de primeros principios, y discutiré una posible solución al problema de la coexistencia estable de especies en ecosistemas donde las especies interactúan de forma aleatoria.

29 de abril

Peakons and Pseudo-peakons
Enrique G. Reyes
Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación Universidad de Santiago de Chile (USACH)

Peakons are a very spacial kind of (weak) travelling wave solutions to certain non-linear partial differential equations of importance for Mathematical Physics. They were discovered in 1993 during the study of the integrable equation
u_{t}-u_{x x t}+3 u u_{x}=2 u_{x} u_{x x}+u u_{x x x}
by R. Camassa and D. Holm. In this talk I will summarize some of the surprising properties of peakons and I will introduce pseudo-peakons, a new kind of weak travelling wave solutions discovered a few months ago during the study of the fifth order nonlinear equation
u_{t}-2 u_{x x t}+u_{x x x x t}=&-3 u u_{x}+4 u u_{x x x}-u u_{x x x x x}+5 u_{x} u_{x x}-2 u_{x} u_{x x x x} \\
&-6 u_{x x} u_{x x x}+2 u_{x x x} u_{x x x x}+u_{x x} u_{x x x x x}
This equation is (in spite of its size) a rather direct integrable generalization of the CamassaHolm equation. I will also discuss briefly its geometric content and some of its analytic properties.

This report is partially based on joint work with Mingxuan Zhu (Beijing University of Technology, China), and Zhijun Qiao (University of Texas Rio Grande Valley, USA).

01 de abril

Tres proyectos de investigación con alumnos de licenciatura

Enrique Treviño, PhD
Associate Professor of Mathematics, Lake Forest College

Hablaremos sobre un par de proyectos de investigación sobre números felices y un proyecto sobre funciones de estacionamiento. Decimos que un número n es feliz si después de iterar la suma de los cuadrados de los dígitos se llega al número 1. Por ejemplo, el número 133 es feliz porque la suma de los cuadrados de sus dígitos es 19 y la suma de los cuadrados de los dígitos de 19 es 82, iterando el proceso a llegamos a 68, luego a 100 y finalmente a 1. Los números felices han sido generalizados a otras bases, a diferentes potencias y a diferentes sistemas numéricos. Uno de los proyectos de los que hablaré es la generalización a bases fraccionales y otro es a la representación factorídica de un número.
Cambiando un poco de tema, consideremos n carros $C_1, C_2,\ldots, C_n$ que quieren estacionarse en un estacionamiento que tiene $n$ espacios. Cada carro $C_i$ tiene una preferencia $a_i$ de donde se quiere estacionar. Los carros aparecen en orden. Si el lugar donde se quieren estacionar está vacío, allí se estacional, si no, entonces siguen moviéndose en orden ascendente hasta encontrar el primer lugar vacío. Una tupla $(a_1, a_2, \ldots, a_n)$ se dice que es una función de estacionamiento si los carros logran estacionarse bajo este algoritmo. Por ejemplo $(2,1,1,2)$ es una función de estacionamiento mientras que $(4,3,3,2)$ no lo es. En nuestro proyecto consideremos generalizaciones involucrando aleatoridad.

18 de marzo

Ritt theorem and Kummer differential equation
Guy Casale
Department of Mathematics, IRMAR, Université de Rennes 1, France

Let $R(x)$ in $C(x)$ be a rational function over the complex numbers and $S(y) = (y^{\prime \prime}/y^{\prime})^{\prime } -1/2(y^{\prime \prime}/y^{\prime })^2$ be the Schwarzian derivative of y with respect to the variable x. Kummer equation is

$$S(y) +R(y) (y^{\prime})^2 = R(x)$$

This equation appears in different works, form original particular case of Kummer, to Lie and Cartan theory of Lie pseudogroups, ODE approach to uniformisation, Ritt hypertranscendence theorem, Ecalle’s synthesis of binary diffeomorphisms …

In this talk i will present Ritt hypertranscendence theorem for solution of $f(qx) = P(f(x))$ with $P$ in $C(x)$ , the relation with Kummer equations and some conjectural extensions of this this theorem.

04 de marzo

Universal computation and hydrodynamics
Daniel Peralta
Instituto de Ciencias Matemáticas ICMAT, Madrid, España

Is hydrodynamics capable of performing computations? or in other words, does there exist a fluid flow that can simulate any computer algorithm? This intriguing question was first formulated by C. Moore in 1991, and has been open for decades. In recent years, this problem has been revisited by T. Tao in relation with the celebrated blow-up problem in fluid mechanics: if such a universal «fluid computer» exists, it may be feasible to use it to design an initial datum that develops singularities when evolving with the Euler or Navier-Stokes equations. In this talk I will show how to construct stationary and time-dependent solutions of the Euler equations that are Turing complete, i.e., they can simulate any Turing machine. A striking consequence of these results is the existence of undecidable fluid particle paths, in the sense that there is no general algorithm to decide whether the trajectories of the flow starting at certain points will reach a certain (explicit) open set. This is a manifestation of complexity in hydrodynamics very different from the theory of chaos. This is based on joint works with R. Cardona, E. Miranda and F. Presas.

18 de febrero

A study of some parametric families of three dimensional Systems: Integrability and linearizability
Chara Pantazi
Universitat Politècnica de Catalunya, Barcelona, España

In this talk I will present the problem of local integrability at the origin of some polynomial differential systems of degree two in three dimensions.

First I will consider the local integrability at the origin of a nine parametric family of a three dimensional Lotka–Volterra differential systems with 3:-1:2-resonance. In particular, I will present the necessary and sufficient conditions on the parameters of the family that guarantee the existence of two independent local first integrals at the origin of coordinates. Additionally, I will present the cases where the origin is linearizable.

Second, I will present a study of another nine parametric family of quadratic systems with 1:-2:1-resonance at the origin and now the axes planes do not need to be invariant. Additionally, For some subfamily I will present the conditions that guarantee the non-existence of a polynomial first integral.

04 de febrero

Curves inscribed in polygons: beyond Poncelet’s theorem
Andrei Martinez-Finkelshtein
Department of Mathematics, Baylor University, USA

Poncelet’s Theorem is one of the most beautiful and well known results from projective geometry. In the last few decades, the relationship between Poncelet’s Theorem and other mathematical object, such as Blaschke products or numerical range of completely non-unitary contractions, has been the focus of extensive research. Recently, another connection, now with the theory of orthogonal polynomials on the unit circle has been revealed. These interconnections allow us to interpret the existing theory in a new context, and also to understand further connections to classical results from algebraic and projective geometry.

26 de enero

Departamento de Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia (sede Bogotá)

En años recientes el álgebra lineal y la combinatoria han confluido en el estudio de la teoría de matrices que prescriben ciertas propiedades y patrones de tipo combinatorio. Un ejemplo clásico son los cuadros latinos. En esta charla consideraremos el problema de contar matrices binarias $((0,1)$-matrices $)$ determinadas de manera única por la suma de sus filas y columnas (lonesum matrices). Son varias las relaciones que se han encontrado entre esta familia de matrices y diferentes objetos discretos, como las orientaciones acíclicas en grafos completos bipartitos, las permutaciones de Callan, permutaciones de Vesztergomb, etc. El conteo de estas matrices está relacionado con los números y polinomios de poly-Bernoulli, los cuales fueron introducidos por Kaneko en 1997, en el estudio de una generalización de la función zeta de Riemann. En la charla discutiremos algunas de estas relaciones, y mostraremos nuevas extensiones que involucran particiones de conjuntos con restricciones, así como nuevas conexiones con los polinomios de poly-Cauchy. Este trabajo es en conjunto con Beáta Bényi (National University of Public Service, Hungary).

19 de enero

Efectos de la Variación de la Constante de Newton en Espacio-tiempos Clásicos de Agujeros Negros
Erick Tuiran Otero
Universidad del Norte, Colombia

En esta charla haremos un recuento de resultados en las últimas décadas sobre el proceso de «improvement» de espacio-tiempos clásicos o soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein, proveniente de un análisis de grupo de renormalización conducente a la evolución de las constantes de acoplamiento con la escala de energías. En la segunda parte presentaremos resultados recientes de trabajos realizados en la línea de investigación en campos cuánticos y relatividad de Uni-Norte.

12 de enero

Series divergentes en funciones analíticas y algunas de sus aplicaciones
Sergio Alejandro Carrillo Torres
Departamento de Matemáticas, Universidad Sergio Arboleda, Colombia

El objetivo de esta charla es estudiar el anillo de series formales en varias variables complejas a través de descomposiciones en series de potencias en una función analítica fija $P$ que se anula en el origen. Este punto de vista permite definir de manera natural la noción de serie Gevrey, además de desarrollos asintóticos respecto a $P$. Mostraremos que este tipo de series aparecen naturalmente como soluciones formales de ecuaciones diferenciales holomorfas con lugar singular ${P=0}$ y daremos criterios geométricos para determinar el tipo Gevrey en $P$ de las mismas. Los resultados se han obtenido en trabajos conjuntos con J. Mozo, R. Schäfke y A. Lastra.


15 de diciembre

El teorema de las curvaturas principales y sus aplicaciones
Josué Meléndez Sánchez
Universidad Autónoma Metropolitana (UAM), México

En esta charla se presentarán algunos resultados recientes sobre el llamado teorema de las curvaturas principales y sus aplicaciones al estudio de la curvatura de hipersuperficies orientadas y completas en el espacio euclidiano con curvatura media constante y, de manera más general, con curvatura media de orden superior.

8 de diciembre

Differential transcendence criteria for second order linear
difference equations and elliptic hypergeometric functions
Carlos Arreche
Assistant Professor of Mathematics, University of Texas at Dallas

Abstract In joint work with Thomas Dreyfus and Julien Roques, we develop general criteria that guarantee the differential transcendence of every nonzero solution of a given second-order homogeneous linear difference equation. These criteria apply uniformly in particular cases of interest, such as shift difference equations, q-difference equations, Mahler difference equations, and difference equations over elliptic curves. These criteria are obtained as an application of the differential Galois theory for difference equations developed by Hardouin and Singer. We apply our criteria to prove a new result to the effect that most elliptic hypergeometric functions are differentially transcendental. This talk will include a brief summary of differential Galois theory for difference equations and elliptic hypergeometric functions.

1 de diciembre

¿Qué es la cohomología acotada?
Carlos De la Cruz Mengual
Instituto Científico Weizmann, Israel

Resumen Si en la definición usual de cohomología singular de un espacio topológico se requiere además que las co-cadenas sean acotadas, se obtiene un invariante nuevo y muy rico, denominado «cohomología acotada». En el contexto de variedades, por ejemplo, la cohomología acotada contiene información sobre el tipo de métricas riemannianas que éstas admiten. Por otro lado, existe una noción de cohomología acotada para grupos que ha encontrado muchas aplicaciones en las áreas de teoría geométrica de grupos y teoría de rigidez. En esta charla, presentaré algunas de sus características y motivaciones para estudiarla.

24 de noviembre

Simple permutations, pasting and reversing
Oscar Eduardo Martinez
Universidad Sergio Arboleda, Colombia

In this work, we will study a key result in Combinatorial Dynamics: the Sharkovskii Theorem. This theorem explains how periodic points are related in a map by genealogy. Then, we will explore simple permutations, since they are useful to show how forcing works in discrete dynamical systems. The works of Stefan, Berndhardt and Acosta-Humánez about odd and power-of-two permutations will be studied, and finally, pasting and reversing techniques will be defined over permutations to state genealogy relationship over other orders.

10 de noviembre

Polinomios invariantes bajo la acción de un grupo finito
Stephen Griffeth
Universidad de Talca

Dado un grupo finito de matrices $\boldsymbol{n}$ por $\boldsymbol{n}$, se puede considerar el anillo de polinomios en $\boldsymbol{n}$ variables que son invariantes bajo la acción del grupo. La estructura de este anillo refleja algo de la estructura de la incrustación del grupo finito abstracto como un subgrupo del grupo de matrices invertibles. En la clase de ejemplos más sencillo en la cual el anillo de polinomios invariantes es isomorfo a un anillo de polinomios en $\boldsymbol{n}$ variables, el grupo es un grupo de reflexiones (complejas). Geométricamente, el anillo de polinomios invariantes es el anillo de funciones en un cociente $\boldsymbol{V} / \boldsymbol{W}$ de un espacio vectorial por la acción del grupo finite $\boldsymbol{W}$; este cociente es suave si y sólo si el grupo es un grupo de reflexiones. En este caso, la fibra sobre cero de la aplicación cociente de $\boldsymbol{V}$ a $V / W$ tiene una estructura interesante y bien conocida.

Hablaré de otra clase de ejemplos relacionado a esto, con un grupo de reflexiones $\boldsymbol{W}$ en $\boldsymbol{V}$ actuando en $\boldsymbol{V}^{*}+\boldsymbol{V}$, donde aún no entendemos todo y las estructuras tienen relaciones interesantes con geometría algebraica, combinatoria algebraica, y la teoría de representaciones. Enunciaré conjeturas sobre el crecimiento asintótico de las dimensiones de los anillos de funciones en las fibras cero de estas aplicaciones cocientes, e indicaré cómo se relaciona con la teoría de representaciones.

3 de noviembre

Grupos, brazas y la ecuación de Yang-Baxter
Ramón Esteban Romero
Universitat de València

La ecuación de Yang-Baxter es una ecuación de la física matemática que describe interacciones entre partículas elementales en situaciones de dispersión. Durante los últimos años ha habido interés en obtener soluciones conjuntistas de esta ecuación. En este estudio han ido apareciendo muchas estructuras algebraicas. En el estudio de las soluciones involutivas y no degeneradas, la estructura de braza surge de manera natural. Una braza con torsión consta de un conjunto $\boldsymbol{B}$ con dos operaciones $+$ y $\cdot$ que lo dotan de dos estructuras de grupo y que están relacionadas a través de una variación de la propiedad asociativa. En una braza con torsión, el grupo multiplicativo actúa sobre el grupo aditivo. El correspondiente producto semidirecto admite una triple factorización que consideramos que puede hacernos entender mejor la estructura de las brazas.

27 de octubre

Ecuaciones diferenciales lineales ordinarias con grupo de Galois diferencial finito
Camilo Sanabria Malagon
Universidad de los Andes, Colombia

Sea $G \subseteq \mathbf{S L}_{2}(\mathbb{C})$ un grupo finito primitivo. Un resultado clásico de Klein establece que existe una ecuación hipergeométrica tal que cualquier ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden cuyo grupo de Galois diferencial sea $\boldsymbol{G}$ es proyectivamente equivalente al levantamiento por un mapa racional de esta ecuación hipergeométrica. En esta charla presentaré una generalización de este resultado. Sea $G \subseteq \mathbf{S L}(\mathbb{C})$ un grupo finito primitivo. Mostraré que existe un entero positivo $d=d(G)$ y una ecuación estándar tal que cualquier ecuación diferencial ordinaria lineal cuyo grupo de Galois diferencial sea $G$ es equivalente bajo una transformación gauge sobre una extensión de campo $\boldsymbol{F}$ de grado $\boldsymbol{d}$ a una ecuación proyectivamente equivalente al levantamiento por un mapa en $\boldsymbol{F}$ de esta ecuación estándar. Para $\boldsymbol{n}=\mathbf{3}$, las ecuaciones estándar se pueden elegir de forma que sean hipergeométricas.

20 de octubre

$t$-graph of a finitely-generated group and applications
Ismael S. Gutiérrez García
Universidad del Norte, Barranquilla, Colombia

Abstract Let $\boldsymbol{G}$ be a finitely-generated group with generating set $\boldsymbol{M}=\left\{g_{1}, \ldots, g_{n}\right\}$, and suppose that every element in $\boldsymbol{x} \in G$ can be uniquely written as $\boldsymbol{x}=\prod_{i=1}^{n} \boldsymbol{g}_{i}^{\epsilon_{i}}$. The $t$-grid of $G$ or the $t$-graph of distances of $\boldsymbol{G}$ is defined as the graph with vertices set $\boldsymbol{G}$, and in which two vertices $\boldsymbol{x}=\prod_{i=1}^{n} g_{i}^{\epsilon_{i}}$ and $y=\prod_{i=1}^{n} g_{i}^{\delta_{i}}$ are adjacent if the Minkowski distance between them is equal to $t$. That is,
l_{1}(x, y)=l_{1}\left(\prod_{i=1}^{n} g_{i}^{\epsilon_{i}}, \prod_{i=1}^{n} g_{i}^{\delta_{i}}\right)=\sum_{i=1}^{n}\left|\epsilon_{i}-\delta_{i}\right|=t
A grid code $\mathscr{C}$ is a subset of $G$, if $\mathscr{C}$ is subgroup of $G$, then it is said that $\mathscr{C}$ is a group code. The elements of $\mathscr{C}$ are called codewords. The minimum distance $\boldsymbol{d}$ of a code $\mathscr{C}$ is defined as usually, that is, as the smallest distance between any two different elements of $\mathscr{C}$. Let $\mathscr{C}$ be a code of $\boldsymbol{G}$ with minimum distance $\boldsymbol{d}$. Then we say that $\mathscr{C}$ is a $(\boldsymbol{n},|\mathscr{C}|, \boldsymbol{d})$-code over $G$ and $(\boldsymbol{n},|\mathscr{C}|, \boldsymbol{d})$ are its parameters. In this talk we consider such codes and the connection with $t$-graph of distances of $G$, when $t=1$. Also we prove some classical results on block codes, like Singleton Bound and others.

13 de octubre

Grupos con subgrupos no superresolubles
Orieta Liriano
Universidad Autónoma de Santo Domingo, República Dominicana

Los grupos simples minimales son los grupos no-abelianos que sus subgrupos son resolubles. En esta investigación estudiamos los grupos simples minimales a partir de la cantidad de subgrupos no superresolubles que contenga el grupo, es decir, los grupos no resolubles a partir de sus subgrupos no superresolubles. Ver Finite groups with all minimal subgroups solitary y ver también A note on solitary subgroups of finite groups.

6 de octubre

A Differential Galois Approach to Path Integrals
Juan J. Morales-Ruiz
Universidad Politécnica de Madrid, Madrid, España

In this talk we point out the relevance of the Differential Galois Theory for the exact semiclassical computations in path integrals in quantum mechanics. The main tool will be a necessary condition for complete integrability of classical Hamiltonian systems obtained by Ramis and myself twenty-two years ago. A corollary of this result is that, for finite dimensional integrable Hamiltonian systems, the semiclassical approach is computable in closed form in the framework of the Differential Galois Theory. This explains in a very precise way the success of quantum semiclassical computations for integrable Hamiltonian systems. We will try to remain at an elementary level, exposing without technical details the essential simple ideas behind the results. See A Note on a Differential Galois Approach to Path Integrals.

29 de septiembre

La secuencia de Recamán: una concha en la playa
Bernardo Recamán
Universidad Sergio Arboleda, Bogotá, Colombia

En esta charla cuento, por primera vez, la historia completa de la secuencia de Recamán y de su curioso comportamiento y hablo del problema de combinatoria de números que le dio origen. Ver The Slightly Spooky Recamán Sequence – Numberphile.

22 de septiembre

Classical trajectories in the black hole revisited: corrections by Loop Quantum Gravity
Joaquín Delgado Fernández
Universidad Autónoma Metropolitana, Iztapalapa, México

We revisit two classical methods for the solutions of the geodesics in the Schwarzschild geometry in General Relativity (GR), the first due to Hagihara, yields the solutions in terms of Weierstrass elliptic P-function; the second, due to Chandrasekhar, had-hoc anomalies are proposed and the solution is obtained in terms of Jacobi elliptic functions. After some corrections on the computations of the first author, we describe some families of solutions that enter the singularity at the origin and their passage through the event horizon in proper time. In Loop Quantum Gravity, one of the main theories which tries to build a quantum theory of gravity (the other being String Theory), instead of a background space-time on which the metric evolves according to the mass-energy tensor, according to Einstein equations, a fiducial space-time is given initially and the metric is substituted by tetrads (frames) and spin-connections. Then one shows independence of the fiducial space-time as much as possible. This is a joint work with Hugo Morales and María Gabriela Sánchez-Acosta.

15 de septiembre:

Diagonal entries of the combined matrix of sign regular matrices
Máximo Santana de Asís
Instituto de Matemática (INSMAT-UASD)
Universidad Autónoma de Santo Domingo
Santo Domingo, República Dominicana

The study of the diagonal entries of the combined matrix of a nonsingular matrix $\boldsymbol{A}$ has been considered by different authors for the classes of $M$ matrices, defined positive matrices and totally positive (negative) matrices. This problem appears to be difficult as the results have been done only for matrices or order three. In this work, we continue to give the characterization of the diagonal entries of the combined matrix of sign regular matrices. Thus, the problem is closed for all possible sign regular matrices of order three. See Diagonal entries of the combined matrix of sign regular matrices of order three.